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%      环
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%\chapter{环}

\section{环(ring)}
	群时一种由集合和集合上的一个二元运算构成的数学结构，显然他并不能包含所有的代数结构，例如，我们如果考虑有两个二元运算呢？环就是有两个二元运算的代数结构。
	\begin{definition}{环(ring)和交换环(communicative ring)}{fubi}
		设R是一个给定的集合，在其上定义了两种二元运算$+,\circ$，且满足以下条件:\\
		(1)$(R,+)$是一个交换群。\\
		(2)$(R,\bullet)$是一个半群。\\
		(3)$a,b,c \in R,a \bullet (b+c)=(a \bullet b)+(a \bullet c)$。\\
		我们称$(R,+, \bullet)$为环,若$(R,\bullet)$是一个交换群，则称其为交换环。
	\end{definition}
	为了后面描述方便，将运算+下的单位元称为环的零元，记为0，元素a在+运算下的逆元称为元素a的负元，记为-a。如果R中存在运算$\bullet$的单位元\footnote{由于$(R, \bullet)$是半群，所以不一定有单位元和逆元，所以在描述中使用“如果”。}，称为环的幺元，记为1，如果元素a在运算$\bullet$下存在逆元，称该逆元为元素a的逆元，记为$a^{-1}$,a称为可逆元素。\par
	\begin{example}\par
		可以根据定义验证，$(\mathbb{Z},+,\times)$是一个交换环，零元是0，幺元是1，可逆元素只有-1和1。$(\mathbb{Q},+,\times),(\mathbb{R},+,\times),(\mathbb{C},+,\times)$都是交换环，零元都是0，幺元都是1，除了0以外，所有其它元素都是可逆元素。
	\end{example}
	
	\begin{definition}{环特征(characteristic of ring)}{fubi}
		环特征也称为环特征数，对于环$(R,+, \bullet)$，若存在自然是$n$,对于$\forall a \in R$，有$n\bullet a =0$，则称具有这种性质的最小自然数n称为此环的特征，记为$Char(R)=n$。若不在这样的自然数满足此性质，则称此环的特征数为零元“0”。
	\end{definition}

	\begin{example}\par
		R是一个布尔环，求$Char(R)$.
	\end{example}
	\begin{solution}
		我们有：$0+0=0,1+1=0$，所以我们可以说$\forall x \in R,x+x=2x=0$，根据环特征的定义，我们有$Char(R)=2$。
	\end{solution}
	
	\begin{definition}{零因子\cite{qing2018}}{fubi}
		$R=(S,+,\times)$是一个环，如果存在$a,b \in S,b\neq 0,a\neq 0,$但$ab=0$（0为+运算的单位元）成立，称环R是有零因子环，a为R的左零因子（left zero divisor），b是R的右零因子（right zero divisor），否则R是无零因子环。若a既是左零因子又是右零因子，称a为零因子。环内既不是左零因子，也不是右零因子的元素称为正则元。
	\end{definition}

	\begin{definition}{幺环}{fubi}
		$(R,+,\times)$是一个环，若$(R,\times)$是一个含幺元的半群，$(R,+,\times)$称为幺环。
	\end{definition}
	\begin{definition}{无零因子环}{fubi}
		$(R,+,\times)$是一个环，若任意两个元素$a,b \in R,ab \neq 0$，$(R,+,\times)$称为无零因子环。
	\end{definition}
	\begin{definition}{整环}{fubi}
		$(R,+,\times)$是无零因子的幺环，则称为整环。
	\end{definition}
	\begin{definition}{体}{fubi}
		$(R,+,\times)$是一个环，若非零元对$\times$构成群，则称为体（或除环）。
	\end{definition}


\section{子环}
	\begin{definition}{子环}{fubi}
		如果环R的一个子集S满足以下三个条件：\\
		(1)$0 \in S$;\\
		(2)$a,b \in S \Rightarrow a-b \in S$;\footnote{a-b是a+(-b)的简写，否则-这个运算并没有定义，后面都使用相同的简写方式。}\\
		(3)$a,b \in S \Rightarrow ab \in S $;\footnote{ab是$a \bullet b$的简写，后面使用相同的简写方式。}\\
		称S是R的子环，R是S的扩环（或扩张）。如果S=R或S=\{0\}，显然S是R的子环，称为平凡子环，其他子环称为真子环。
	\end{definition}
\section{同态和同构}
	\begin{definition}{同态和同构}{fubi}
		X和Y是两个环，如果存在一个映射$f:X\rightarrow Y$，使得$\forall x_1 , x_2 \in X$，有$f(x_1 +x_2)=f(x_1) +f(x_2), f(x_1 \bullet x_2)=f(x_1)\bullet f(x_2),$则称f是一个从X到Y的同态映射或称环X和Y同态，记作$X~Y$，其中+和$\bullet$是两个环中相应的“加法”和“乘法”.如果f是单射，称为单同态，f是满射，称为满同态，如果f是双射，称此同态为同构记为$X \overset{~}{=}Y$.
	\end{definition}
\section{理想和商环}
	\begin{definition}{理想}{fubi}
		I是环R的子环，如果满足$RI \subset I (\forall i \in I,r \in R,ri \in I)$，则I是R的左理想，类似可以定义右理想，同时左理想和右理想的子环称为理想。
	\end{definition}
	理想是一类特殊的子环，对于交换环来说，左理想就是右理想就是理想。
	\begin{example}\par
		证明$n \mathbb{Z}$是交换环$(\mathbb{Z},+,\times)$的一个理想。
	\end{example}
	\begin{theorem}{商环}{fubi}
		R'是环$(R,+,\bullet)$的子环，则可在R中定义等价关系~：$a,b \in R,a~b \Leftrightarrow a+(-b)=a-b \in R'$.a所在的等价类记为$a+R'$.若R'是R的理想，则可在商集合$R/~=R/R'$中定义$+,\bullet$为：$(a+R')+(b+R')=a+b+R',(a+R')\bullet (b+R') = ab+R'$.可知集合$R/~$对上述定义的$+,\bullet$构成环，称为R对R'的商环。
	\end{theorem}
	\begin{definition}{理想的生成元}{fubi}
		$(R,+,\bullet)$是一个交换环，H是R的非空子集，$\{ H_i \mid i \in \mathbb{N} \}$是R的所有包含集合H的理想，即$H \subseteq H_i (i \in \mathbb{N})$,则$\bigcap_{i \in \mathbb{N} H_i}$称为由子集H生成的理想，记为(H),H中的元素叫做理想(H)的生成元。如果$H=\{ a_1,a_2,\ldots,a_n \}(n \in \mathbb{N})$,则理想(H)记为$(a_1,a_2,\ldots,a_n)$，并称为有限生成的理想，由一个元素生成的理想<a>叫主理想。
	\end{definition}
	\begin{definition}{主理想环}{fubi}
		如果交换环R的所有理想都是主理想，则交换环R称为主理想环。
	\end{definition}
	\begin{example}\par
		求证$(\mathbb{Z},+,\times )$是主理想环。
	\end{example}

\section{多项式环}
	\begin{definition}{环上的一元多项式}{fubi}
		$(R,+,\times)$交换环，x是一个变元，n是非负整数，$a_0,a_1,\ldots,a_n \in R$，则$f(x)=a_0 + a_1 x + \ldots +a_n x^n$\footnote{这里的+和$\times$只是一个运算的记号，不代表任何特定的运算。}称为交换环R上的一元多项式，$a_0,a_1,\ldots,a_n$称为此多项式的系数，$a_0$称为常数项；如果$a_n \neq 0$，$a_n$称为首项系数，n称为一元多项式f(x)的次数，记为$deg\ f(x)=n$。所有交换环R上的一元多项式组成的集合记为$R[x]$.
	\end{definition}
	\begin{definition}{R上的一元多项式环}{fubi}
		$(R,+,\times)$是交换环，称$(R[x],+,\times)$为R上的一元多项式环，也称为R上添加x生成的环。
	\end{definition}

	\begin{definition}{R上的n元多项式环}{fubi}
		$(R,+,\times)$是交换环，称$(R[x_1,\ldots,x_n],+,\times)$为R上的n元多项式环。
	\end{definition}

	\begin{definition}{代数元}{fubi}
		如果在交换幺环R中存在有限多个元素$a_1,\ldots,a_n,a_n \neq 0$，使得$a_n u^n+ \ldots +a_1 u +a_0 =0$,称u为R上的代数元，使上述关系成立的最小正整数n称为代数元的次数，记为$deg(u,R)$,称$f(x)= a_n x^n+ a_1 x +x \in R[x]$为u在R上的不可约多项式，记为Irr(u,R)。
	\end{definition}
	\begin{definition}{超越元}{fubi}
		如果在交换幺环R中任意不全为零元素$a_1,\ldots,a_n$，均有$a_n u^n+ \ldots +a_1 u +a_0 \neq 0$,称u为R上的超越元。
	\end{definition}
